Hukum Dasar Aljabar Boolean

Ungkapan Boolea

• Komputer digital modern dirancang, dipelihara, dan operasinya dianalisis dengan memakai teknik dan simbologi dari bidang matematika yang dinamakan aljabar modern atau aljabar Boolean

• pengetahuan mengenai aljabar boolean ini merupakan suatu keharusan dalam bidang komputer.

KONSEP POKOK ALJABAR BOOLEAN

• Variabel – variabel yang dipakai dalam persamaan aljabar boolean memiliki karakteristik

• Variabel tersebut hanya dapat mengambil satu harga dari dua harga yang mungkin diambil. Kedua harga ini dapat dipresentasikan dengan simbol “ 0 ” dan “ 1 ”.

Penambahan Logis      Perkalian Logis            Komplementasi atau Negasi

0 + 0 = 0            0 . 0 = 0                   0 = 1

0 + 1 = 1            0 . 1 = 0                   1 = 0

1 + 0 = 1            1 . 0 = 0

1 + 1 = 1            1 . 1 = 1

HUKUM DASAR ALJABAR BOOLEAN

a. Hukum Komutatif

- A + B = B + A
- A . B = B . A

b. Hukum Asosiatif

- (A + B) + C = A + (B + C)
- (A . B) . C = A . (B . C)

c. Hukum Distributif

- A . (B + C) = A . B + A . C
- A + (B . C) = (A + B) . ( A + C )

d. Hukum Identitas

- A + A = A
- A . A = A

e. Hukum Negasi

- (A) = A
- A = A

f. Hukum Redundan

- A + A . B = A

- A . (A + B) = A

g. Indentitas

- 0 + A = A
- 1 . A = A
- 1 + A = 1
- 0 . A = 0
- A + A . B = A + B

i. Teorema De Morgan

- (A + B) = A . B
- (A . B) = A + B
Summary

0 + X = X

1 + X = 1

X + X = X

X + X = 1

0 . X = 0

1 . X = X

X . X = X

X . X = 0

X = X

X + Y = Y + X

X . Y = Y . X

X + (Y + Z) = (X + Y) + Z

X . (Y . Z) = (X . Y) Z

X . (Y + Z) = XY + XZ

X + XZ = X

X (X + Y) = X

(X + Y) ( X + Z) = X + YZ

X + XY = X + Y

XY + YZ + YZ = XY + Z

Perbedaan antara aljabar Boolean dan aljabar biasa untuk aritmatika bilangan riil :

1.Hukum distributif + dan . Seperti a+(b.c) = (a+b) . (a+c) benar untuk aljabar Boolean tetapi tidak benar untuk aljabar biasa.

2.Aljabar Boolean tidak memiliki kebalikan perkalian (multiplicative inverse) dan penjumlahan, sehingga tidak ada operasi pembagian dan pengurangan.

3.Sifat no 2 mendefinisikan operator yang dinamakan komplemen yang tidak tersedia pada aljabar biasa.

4.Aljabar biasa memperlakukan bilangan riil dengan himpunan yang tidak berhingga. Aljabar Boolean memperlakukan himpunan elemen B yang sampai sekarang belum didefinisikan, tetapi pada aljabar Boolean dua nilai yaitu nilai 0 dan 1

Hal lain yang penting adalah membedakan elemen himpunan dan peubah (variabel) pada sistem aljabar.

elemen himpunan          peubah

Aljabar biasa           bil riil                           a, b, c

Aljabar Boolean          bil riil                           x, y, z

Suatu aljabar Boolean harus memenuhi 3 syarat :

1.Elemen himpunan B

2.Kaidah/aturan operasi untuk dua operator biner

3.Himpunan B, bersama-sama dengan dua operator tersebut,memenuhi postulat     Huntington.

Aljabar Boolean dua-nilai
Aljabar Boolean dua-nilai (two-valued Boolean algebra) didefinisikan pada sebuah himpunan dengan dua buah elemen, B = {0,1}, dengan kaidah untuk operator + dan.
Prinsip Dualitas
Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean yang melibatkan operator +,  ×, dan komplemen, maka jika pernyataan S* diperoleh dengan cara mengganti
× . dengan  +
+  dengan   .
0  dengan  1
1  dengan  0
dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga benar. S* disebut sebagai dual dari S.
(i)   (a × 1)(0 + a’) = 0  dualnya (a + 0) + (1 × a’) = 1
(ii)  a(a‘ + b) = ab dualnya a + a‘b = a + b
Contoh. Buktikan (i) a + a’b = a + b dan   (ii) a(a’ + b) = ab
Penyelesaian:
(i)      a + a’b = (a + ab) + a’b (Penyerapan)
= a + (ab + a’b)           (Asosiatif)
= a + (a + a’)b (Distributif)
= a + 1 · b (Komplemen)
= a + b (Identitas)
(ii) adalah dual dari (i)
Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bⁿ ke B melalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai
f : Bⁿ -> B
yang dalam hal ini Bⁿ adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B.
Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan fungsi Boolean.
Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah
f(x, y, z) = xyz + x’y + y’z
Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3
(x, y, z) ke himpunan {0, 1}.
Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan z = 1

sehingga f(1, 0, 1) = 1 × 0 × 1 + 1’ × 0 + 0’× 1 = 0 + 0 + 1 = 1

Contoh. Diketahui fungsi Booelan f(x, y, z) = xy z’, nyatakan h dalam tabel kebenaran.
Penyelesaian:

x	y	z	f(x, y, z) = xy z’
0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	0 0 0 0 0 0 1 0 sumber

About these ads